SEMINAIRE D'ANALYSE NUMERIQUE
Année universitaire 2012-2013


Jeudi 7 février 2013 :  Lucas CHESNEL  (ENSTA ParisTech)
Étude de quelques problèmes de transmission avec changement de signe. Application aux métamatériaux.

Dans cette présentation, nous étudions quelques opérateurs présentant un changement de signe dans leur partie principale. Ces opérateurs apparaissent notamment en électromagnétisme lorsqu’on s’intéresse à la propagation des ondes dans des structures constituées de matériaux usuels et de matériaux négatifs en régime harmonique. Ici, nous appelons matériau négatif un matériau modélisé par une permittivité diélectrique et/ou une perméabilité magnétique négative(s). En raison du changement de signe des coefficients physiques, on ne peut utiliser les outils classiques pour étudier ce problème.

Dans la première partie de cette présentation, nous nous concentrons sur le problème de transmission scalaire auquel on peut réduire les équations de Maxwell lorsque la géométrie et les données présentent une invariance dans une direction. Avec la technique de la T-coercivité, basée sur des arguments géométriques, nous établissons des conditions nécessaires et suffisantes pour prouver le caractère bien posé de ce problème en domaine borné dans H1. Nous montrons également comment on peut utiliser cette approche pour justifier la convergence des méthodes usuelles d’approximation par éléments finis.

Dans un deuxième temps, au moyen de techniques différentes, issues de l’étude des équations elliptiques dans des domaines à géométrie singulière, nous définissons un nouveau cadre fonctionnel pour recouvrer le caractère Fredholm lorsque celui-ci est perdu dans H1. Il apparaît alors un phénomène surprenant de trou noir. Tout se passe comme si des ondes étaient aspirées en un point. Nous réalisons ensuite une étude asymptotique par rapport à une petite perturbation de l’interface entre le matériau positif et le matériau négatif dans ce cadre fonctionnel. Au cours de notre analyse, nous mettons en évidence un curieux phénomène de valeur propre clignotante.

La troisième partie est consacrée à l’étude des équations de Maxwell. Nous travaillons d’abord sur les équations de Maxwell 2D en exploitant les résultats obtenus pour le problème scalaire. Puis, nous nous intéressons aux équations de Maxwell 3D. Nous montrons qu’elles sont bien posées dès lors que les problèmes scalaires associés sont bien posés.

Enfin, dans une quatrième partie, nous étudions le problème de transmission intérieur apparaissant en théorie de la diffraction. L’opérateur pour ce problème présente également un changement de signe dans sa partie principale. Nous abordons son étude en utilisant l’analogie existant avec le problème de transmission entre un matériau positif et un matériau négatif. Certaines configurations pour ce problème de transmission intérieur conduisent à considérer un problème de transmission du quatrième ordre avec changement de signe. Nous prouvons que cet opérateur présente des propriétés étonnamment différentes de celles de l’opérateur scalaire du second ordre.

Pour plus de détails concernant ces quatre parties, l’on pourra consulter respectivement [1, 5], [3], [2] et [4, chapitres 11-12].

Références
[1] A.-S. Bonnet-Ben Dhia, L. Chesnel et P. Ciarlet Jr. : T-coercivity for scalar interface problems between dielectrics and metamaterials. Math. Model. Numer. Anal., 46(06):1363–1387, 2012.
[2] A.-S. Bonnet-Ben Dhia, L. Chesnel et P. Ciarlet Jr. : T-coercivity for the Maxwell problem with sign-changing coefficients. hal-00762275, 24 pages, 2012.
[3] A.-S. Bonnet-Ben Dhia, L. Chesnel et X. Claeys : Radiation condition for a non-smooth interface between a dielectric and a metamaterial. Math. Models Meth. App. Sci., Accepté, 33 pages, 2012.
[4] L. Chesnel : Étude de quelques problèmes de transmission avec changement de signe. Application aux métamatériaux. Thèse de doctorat, École Polytechnique, 2012.
[5] L. Chesnel et P. Ciarlet Jr. : T-coercivity and continuous Galerkin methods : application to transmission problems with sign changing coefficients. Numer. Math., Accepté, 28 pages, 2012.