11ème JEAN, 19 décembre 2013
Tiphaine Jézéquel
:
Approximation par splitting de l'équation de
Schrödinger : instabilité pour les pas de temps "résonnants"
On considère l'équation de Schrödinger, linéaire tout d'abord avec conditions au bord périodiques :
$$ i\partial_t u + \Delta u= V(x)u , \quad x\in \mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z},$$
puis non linéaire cubique,
$$ i\partial_t u + \Delta u=
u|u|^2, \quad x\in \mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z}.$$
On s'intéresse à l'approximation numérique des solutions de cette équation par des schémas de splitting. Des instabilités ont été observées avec ces schémas pour des pas de temps particuliers. En parallèle, des résultats montrant la stabilité des schémas ont été obtenus sous des conditions de "non-résonance" sur le pas de temps.
Dans cet exposé, je reviendrai sur ce contexte et présenterai un travail montrant que pour les pas de temps résonnants, on peut toujours trouver des conditions initiales ou des valeurs du potentiel menant à des instabilités : plus précisément, on trouve des solutions pour lesquelles l'énergie explose alors que l'énergie est préservée par l'équation de Schrödinger.
