13ème JEAN, 25 février 2016
Virginie BONNAILLIE-NOËL
:
Autour des partitions spectrales minimales.
Pour chaque $k$-partition $(D_1,\ldots, D_k)$ d’un domaine, on peut lui
associer une énergie comme étant le maximum des premières valeurs
propres du Laplacien avec conditions de Dirichlet sur chacun des
domaines $D_j$ : $$\sup\{ \lambda_1(D_j), 1\leq j\leq k\}.$$ Le problème
d’optimisation consiste alors à déterminer la partition qui minimise
cette énergie. Lorsque $k=2$, on peut montrer que l’énergie minimale est
égale à la deuxième valeur propre et que toute partition nodale du
vecteur propre associé donne une partition minimale. Dès que $k\geq 3$,
la situation est bien différente et en général, on ne connaît pas la
partition minimale. Il y a néanmoins quelques résultats qui permettent
de discriminer si une partition nodale est minimale.
Dans cet exposé, nous montrerons des simulations numériques proposant
des candidats à être des partitions minimales pour cette énergie ou pour
d’autres énergies en remplaçant la norme infinie des $k$ valeurs propres
par une $p$-norme.
Cet exposé résulte de collaborations avec B. Bogosel, B. Helffer, C.
Léna, G. Vial.
