La constante inf-sup de la divergence, aussi appelée constante LBB en l'honneur de Ladyzhenskaya, Babuska et Brezzi, coïncide avec le bas du spectre du complément de Schur S de l'opérateur de Stokes. L'opérateur S a la particularité d'être d'ordre 0 et de n'avoir aucune propriété de compacité, ni lui ni sa résolvante.
La constante LBB a été beaucoup étudiée, directement ou indirectement, depuis fort longtemps. Les résultats les plus précis sont en dimension 2. Dans l'article [1], Horgan & Payne relient cette constante à la constante de Friedrichs et en déduisent une borne inférieure pour la constante LBB. Cette borne inférieure a été popularisée par Stoyan [2] comme l'angle de Horgan & Payne.
Il y a un an, nous avons découvert une erreur dans la preuve de Horgan & Payne. Il y a quelques semaines, nous avons trouvé un contre-exemple. Dans cet exposé, je vais raconter cette histoire, et aussi quelques résultats positifs que nous avons pu prouver, améliorant en cela un résultat récent de Duran [3] en dimension 2.
[1] C.O. Horgan, L.E. Payne -- On inequalities of Korn, Friedrichs and Babuska--Aziz, Arch. Rat. Mech. Anal., 82 (1983), 165--179.
[2] G. Stoyan -- Iterative Stokes solvers in the harmonic Velte subspace, Computing 67 (2001), 12--33.
[3] R.G. Duran --
An elementary proof of the continuity from $L^2_0(\Omega)$ to $H^1_0(\Omega)^n$ of Bogovskii’s right inverse of the divergence.
Revista de la Unión Matemática Argentina 53(2), 59-78, 2012.