SEMINAIRE D'ANALYSE NUMERIQUE
Année universitaire 2007-2008
Jeudi 22 novembre 2007 :
Aurélien MONTEILLET
(Brest)
Propagations de fronts gouvernées par des lois non-locales.
On s'interesse à l'évolution avec le temps de sous-ensembles $K(t)$
de $\mathbb{R}^N$, dont la vitesse normale en un point $x$ du bord est
fonction non seulement de paramètres locaux bien compris ($x$, $t$, la
normale extérieure, la courbure en $x$), mais également de paramètres
non-locaux : l'ensemble $K(t)$ lui-même, voire même tous les $K(s)$
pour $0 \leq s \leq t$.
Dans ce cas, les techniques classiques pour construire une solution à
ces problèmes d'évolution échouent. Il s'agira de présenter une
nouvelle notion de solution, dite faible, ainsi qu'un théorème général
d'existence. On étudiera aussi de plus près deux exemples : la
dynamique des dislocations avec courbure moyenne, que l'on traitera
par la méthode des mouvements minimisants, et le système de
Fitzhugh-Nagumo, pour lequel on obtient l'unicité dans certains cas.