SEMINAIRE D'ANALYSE NUMERIQUE
Année universitaire 2007-2008
Jeudi 22 mai 2008 :
Dorin BUCUR
(Université de Savoie)
Inégalités isopérimétriques de valeurs propres par méthodes directes.
Une méthode directe pour résoudre des problèmes isopérimétriques peut
être résumée comme suit:
- démontrer l'existence d'un domaine optimal, sans imposer des
contraintes de régularité a priori. Il se pourrait qu'un phénomène de
relaxation soit observé, i.e. la solution serait une mesure, ou un
quasi-ouvert.
- étudier la régularité du domaine optimal. C'est un problème
difficile, mais parfois il suffit de démontrer une régularité "très
faible" pour obtenir des conditions d'optimalité (e.g. seulement ouvert).
- écrire des conditions d'optimalité et obtenir des informations
supplémentaires sur le domaine optimal. Si la régularité obtenue est
"faible", les conditions d'optimalité classiques de type dérivée par
rapport au domaine ne peuvent pas etre écrites. D'autres critères
d'optimalité doivent être mis en oeuvre.
Cette démarche sera illustrée sur des exemples relatifs à la
minimisation des valeurs propres du Laplacien (Faber-Krahn, Robin,
partitions optimales).