SEMINAIRE D'ANALYSE NUMERIQUE
Année universitaire 2007-2008
Vendredi 13 juin 2008 :
Guillaume DUJARDIN
Thèse: Études de schémas de discrétisation en temps de l'équation de Schrödinger.
Cette thèse consiste en l'analyse numérique de méthodes de résolution
d'équations aux dérivées partielles de type Schrödinger : sur le tore
de dimension d, on s'intéresse à la résolution numérique de l'équation
de Schrödinger linaire avec potentiel multiplicatif, de l'équation de
Schrödinger linéaire inhomogène et de l'équation de Schrödinger non
linéaire.
Dans une première partie, on étudie des méthodes de splitting en
temps, symplectiques, pour l'équation de Schrödinger linéaire avec
potentiel multiplicatif. Dans l'asymptotique des petits potentiels, on
démontre par une méthode perturbative un théorème de forme normale pour
le propagateur de ces méthodes. Ce théorème permet ensuite de démontrer
des propriétés de conservation en temps long de la régularité de la
solution numérique pour des pas de temps non résonnants.
La seconde partie est consacrée à l'analyse numérique de méthodes
de Runge-Kutta exponentielles pour l'équation de Schrödinger linéaire
inhomogène et pour l'équation de Schrödinger non linéaire. Dans une
perspective d'ordre élevé et en temps fini, on donne des conditions
suffisantes pour que les méthodes de collocation à s points soient
d'ordre s, s+1 et s+2 pour les deux types de problèmes envisagés. On
illustre, quantifie et explique en outre l'effet des résonnances
numériques qui apparaissent lors de la résolution des problèmes
linéaires inhomogènes par de telles méthodes.