Jeudi 16 octobre 2008 :
Antoine LEMENANT
(Pise)
Quelques pistes sur la quête d'un nouveau minimiseur global
pour la fonctionnelle de Mumford et Shah dans RN.
On s'interesse dans cet exposé aux couples (u,K) où K est un
ensemble fermé de dimension N-1 dans RN et u est une fonction
régulière dans le complémentaire de K, qui minimisent au sens suivant:
Pour tout couple compétiteur (v,L) qui coïncide avec (u,K) en
dehors d'une boule B, on a
JB(u,K)< JB(v,L)
où J(u,K) est la
somme de l'énergie \intB |\nabla u|2
et de la mesure de surface HN-1(K\cap B).
De tels couples sont appelés minimiseurs globaux de
Mumford-Shah, et apparaissent comme limite d'explosion, c'est à dire
comme "objet tangent", pour un minimiseur de la fonctionnelle de Mumford
et Shah, introduite en 1989 pour résoudre un problème de segmentation
d'image. En dimension 2, la liste des minimiseurs globaux est quasiment
connue et a donné naissance au fameux Théorème de régularité de
A.Bonnet, passant très proche de démontrer la conjecture de Mumford et
Shah (toujours ouverte aujourd'hui). En dimension 3 par contre, beaucoup
reste à faire.
Dans cet exposé, après un rappel sur l'historique de la
fonctionnelle de Mumford et Shah, on présentera un résultat concernant
les minimiseurs globaux (u,K) dans RN, tels que K est un cône
suffisamment régulier. On montrera dans ce contexte que la fonction u
associée est homogène et harmonique dans le complémentaire de K, ce
qui permettra d'en déduire quelques corollaires sur la non existence de
certains minimiseurs hypothétiques dans R3. Ce n'est qu'un tout
premier pas vers la découverte de l'ensemble des minimiseurs globaux
dans R3, et sans doute que l'étude numérique de certains exemples
précis peut aider dans ce sens...