SEMINAIRE D'ANALYSE NUMERIQUE
Année universitaire 2009-2010
Vendredi 27 novembre 14h, à Ker Lann:
Ludovic GOUDENEGE
(soutenance de thèse)
Quelques résultats sur l'équation de Cahn-Hilliard
stochastique et déterministe.
Nous
nous intéressons d'abord à l'équation aux
dérivées partielles stochastique de Cahn-Hilliard en
dimension 1 avec une seule singularité. C'est une
équation d'ordre 4 dont la non linéarité est de
type logarithmique ou en puissance négative x- a,
à laquelle on ajoute la dérivée d'un bruit blanc
en espace et en temps. On montre l'existence et l'unicité des
solutions en utilisant les solutions d'équations
approchées aux non linéarités Lipschitz. La
présence d'une mesure de réflexion permet d'assurer
l'existence de solutions. On étudie ces mesures à l'aide
des mesures de Revuz associées et, grâce à une
formule d'intégration par parties, on montre qu'elles sont
identiquement nulles lorsque l'exposant a est plus grand ou égal à 3.
Dans un deuxième temps, on considère la même
équation mais avec deux singularités logarithmiques en
1 et -1. Il s'agit du modèle complet de l'équation de
Cahn-Hilliard. Cette fois-ci on utilise des équations
approchées aux non linéarités polynomiales pour
montrer l'existence et l'unicité de solutions. Deux mesures de
réflexion doivent ici être ajoutées pour assurer
l'existence. De plus, on montrera que la mesure invariante est
ergodique.
Enfin, on étudie l'équation déterministe : des
simulations numériques basées sur une méthode
d'élements finis de hauts degrés permettent d'illustrer
plusieurs résultats théoriques. La capture des interfaces
et des états stationnaires requiert une attention
particulière. On s'intéressera également aux
bifurcations autour de la première valeur propre du Laplacien
sur des domaines généraux.
Par ailleurs, quelques simulations stochastiques permettent de mettre
en évidence les instants de contact avec les
singularités, les évolutions stochastiques en temps long
et les changements d'états stationnaires.
