SEMINAIRE D'ANALYSE NUMERIQUE
Année universitaire 2009-2010
Jeudi 4 mars 2010 :
Antoine LAURAIN
(Univ. Graz; Autriche)
Une méthode d'optimisation de forme et optimisation
topologique pour la résolution de problèmes inverses
Nous proposons une approche de type optimisation de forme pour
résoudre différents problèmes inverses en tomographie. Par
example, dans le cas de la tomographie d'impédance électrique, on
cherche à reconstruire la conductivité électrique tandis que dans
le cas de la tomographie optique de fluorescence, l'inconnue est une
concentration de fluorophore. Ces problèmes sont en général
sévèrement mal-posés, et il est courant de faire des hypothèses
supplémentaires sur les inconnues afin d'obtenir une solution. Notre
approche consiste à supposer que les fonctions à reconstruire sont
constantes par morceaux.
Grâce à cette hypothèse, on se ramène essentiellement à un
problème d'optimisation de forme et on étudie la sensibilité par
rapport au domaine de la fonction coût. L'algorithme consiste à
initialiser le domaine à l'aide de la notion de dérivée
topologique, qui mesure la variation de la fonction coût quand la
topologie du domaine est modifiée, puis à reconstruire la forme des
inclusions en modifiant la frontière du domaine à l'aide de la
dérivée de forme.
