SEMINAIRE D'ANALYSE NUMERIQUE
Année universitaire 2010-2011


Mardi 12 octobre 2010 (14h45 à l'INSA, Salle Bonnin) :  Erwan LE GRUYER   (Soutenance d'HDR)
Etude des champs tayloriens.

      Ce travail de recherche a été réalisé dans le cadre de l'IRMAR sur le site de l'INSA de Rennes. Ce mémoire porte sur l'étude des champs tayloriens. C'est un sujet classique en analyse fonctionnelle et certains résultats obtenus ont un intérêt en mathématiques appliquées, en E.D.P.  et en probabilité. Il s'agit d'étudier le prolongement de fonctions ou de champs tayloriens.
      Le premier chapitre  concerne le prolongement par fonctions  continues. Après avoir formalisé des principes de stabilité que l'on peut espérer obtenir d'un schéma d'extension, nous montrons que de tels schémas existent. En particulier, nous montrons que les extensions harmonieuses, solutions d'équations fonctionnelles  ont de très bonnes propriétés de stabilité. Ensuite, nous faisons le lien entre les extensions harmonieuses est la notion d'A.M.L.E (Absolutely Minimizing Lipschitz Extension)  introduite par G. Aronsson. Ce lien nous permet de montrer l'existence d'une AMLE par des techniques différentes de celles d'Aronsson. Dans le cas euclidien et sous certaines hypothèses, nous montrons que les extensions harmonieuses  convergent  vers la solution de viscosité associée à l'opérateur laplacien infini pour le problème de Dirichlet. Pour finir ce chapitre nous décrivons une méthode numérique  qui approche une AMLE dans un espace métrique métriquement convexe et qui approche, dans le cas euclidien,  la solution de viscosité associée au laplacien infini. Un théorème de convergence est établi ainsi que des simulations numériques.
      Le deuxième chapitre de cette partie est consacré à l'étude des champs d'ordre m. Un théorème d'Arzelà-Ascoli sur les champs et un théorème de prolongement à la fermeture sur les champs sont établis. Nous formalisons  ensuite des principes de stabilité que l'on peut espérer obtenir d'un schéma d'extension pour les champs d'ordre m.  Après avoir trouvé les conséquences logiques de ces principes, nous faisons le lien entre les schémas d'extrapolation et d'extension par le concept de DS-stabilité. Nous montrons  l'existence d'un schéma d'extension stable (en particulier DS-stable) pour les champs d'ordre m en une seule variable. La dernière partie est consacrée aux champs d'ordre 1 définis sur un Hilbert. Nous trouvons  la constante de Lipschitz pour les champs d'ordre 1 (constante qui dépend uniquement des valeurs du champ à étendre). Nous donnons ensuite les conséquences de ce résultat : généralisation du théorème de prolongement de Whitney, caractérisation du domaine d'unicité des extensions Lipschitz minimales. Une description complète d'une extension minimale d'un champ biponctuel d'ordre 1 est donnée à la fin de ce chapitre ainsi que des illustrations numériques.
      Le troisième chapitre de cette partie est consacré à  l'étude du problème de l'extension de Whitney avec données de Lagrange. 
- Pour les fonctions d'une seule variable. Une fois réglé le cas de l'extension d'une fonction à la fermeture de son domaine, nous formalisons  des principes de stabilité que l'on peut espérer obtenir d'un schéma d'extension pour les fonctions. Pour ce faire on généralise la distance de Hausdorff afin de réduire le problème de l'extension stable à un problème d'extrapolation stable. En classe C^k (k=1,2), nous obtenons deux schémas linéaires DS-stables. Nous obtenons aussi des estimations linéaires et DS-stable de la dérivée m^{ieme}  en classe C^m. Il reste à trouver des estimations linéaires des  dérivées intermédiaires pour m>3.
 - Pour les fonctions de plusieurs variables, le seul résultat concerne le prolongement d'une fonction en une fonction de classe C^1. Ce résultat est une conséquence directe du résultat principal obtenu sur les champs d'ordre 1. Nous obtenons une C.N.S pour pouvoir prolonger une fonction en une fonction de classe  C^1 de dérivée lipschitzienne.
      Le quatrième chapitre de cette partie est consacré  aux perspectives de recherche. Nous détaillons un des résultats,  celui qui concerne les extensions extrémales de m-jets d'une seule variable à valeurs dans R^m.