SEMINAIRE D'ANALYSE NUMERIQUE
Année universitaire 2010-2011
Jeudi 6 janvier 2011 :
Alexei LOZINSKI
(IMT, Toulouse)
Schémas numériques AP (Asymptotic Preserving) pour la diffusion anisotrope.
On présente des méthodes robustes pour la résolution numérique d'un problème de diffusion fortement anisotrope. La direction de l'anisotropie est prescrite par un champ vectoriel donné, non constant. Ces méthodes sont basées sur une reformulation « préservant l'asymptotique » du système original qui permet un passage formel au problème limite de diffusion avec une matrice de diffusion dégénérée. Cette reformulation peut être discrétisée sur un maillage quelconque (pas nécessairement adapté à la direction d'anisotropie) en introduisant des multiplicateurs de Lagrange. Cela donne un schéma dont la précision ne dépend pas du taux de l'anisotropie. Un inconvénient de cette procédure est qu'on doit résoudre des systèmes d'une taille plus grande que le système original (5 fois plus grande dans la version publiée en [1]). Heureusement, il y a une autre variante de cette approche qu'on a découverte récemment. Il suffit d'introduire seulement une variable auxiliaire, ce qui résulte en un schéma très efficace. On donne des illustrations numériques, ainsi que quelques idées pour l'analyse théorique de ces méthodes.
[1] P. Degond, F. Deluzet, A. Lozinski, J. Narski and C. Negulescu,
Duality-based Asymptotic-Preserving method for highly anisotropic
diffusion equations, accepted to CMS,
preprint on arXiv.
