SEMINAIRE D'ANALYSE NUMERIQUE
Année universitaire 2010-2011
Vendredi 24 juin 2011
(11h00, salle 004-006) :
Aurélien KLAK
(Soutenance de thèse)
Méthodes asymptotiques pour les équations de type Helmholtz ou Navier-Stokes.
Dans cette thèse, nous étudions deux problèmes
différentiels dépendant d'un petit paramètre
\varepsilon et étudions l'asymptotique des solutions lorsque
ce paramètre tend vers 0.
Le premier problème est lié à l'équation de
Helmholtz haute-fréquence. On construit un potentiel non-captif
ne satisfaisant pas l'hypothèse de refocalisation des rayons
introduites par F. Castella. On montre que l'ensemble des trajectoires
hamiltoniennes (associées au potentiel construit) issues de
l'origine et qui reviennent en 0 forment une
sous-variété de dimension d-1 (le cas limite).
On montre alors que la solution de l'équation d'Helmholtz
converge vers une perturbation de la solution d'Helmholtz avec
condition de radiation à l'infini et coefficients
figés en 0.
Dans un second temps, nous étudions une équation de
Navier-Stokes forcée par une source polarisée fortement
oscillante. On exhibe une famille de solutions exactes. On
étudie alors la stabilité de cette famille lorsqu'on la
perturbe à l'instant initial. On construit une solution
approchée du problème à l'aide d'une couche limite
au temps initial. Ce développement montre aussi que des
interactions d'ondes, se propageant à des échelles
différentes, peuvent se traduire par une augmentation de la
viscosité.
Ensuite, on justifie la convergence de la solution approchée
vers la solution exacte à l'aide de méthodes
d'énergie.
