SEMINAIRE D'ANALYSE NUMERIQUE
Année universitaire 2011-2012
Jeudi 22 mars 2012 :
Christophe LACAVE
(Université Paris-Diderot (Paris 7))
Euler 2D dans les domaines non réguliers.
Le caractère bien posé des équations d'Euler a été le sujet de plusieurs articles, mais le point commun de tous les travaux précédent est que le bord est au moins $C^{1,1}$.
Dans une première partie, nous établirons l'existence de solution faible globale aux équations d'Euler incompressibles 2D pour une large classe de domaines non réguliers. Ces ensembles ouverts sont le complémentaire (dans un domaine simplement connexe) d'un nombre fini de compacts connexes de capacité positive. L'existence de solution faible pour un tourbillon $L^p$ est déduit par un argument d'approximation, relié à la $\gamma$-convergence de domaines.
Dans une seconde partie, nous démontrerons l'unicité si l'ensemble ouvert est l'intérieur ou l'extérieur d'un domaine simplement connexe, quand le bord a un nombre fini de coins. Bien que la vitesse explose près de ces coins, nous obtiendrons un théorème similaire au résultat de Yudovich, dans le cas d'un tourbillon initial borné, à support compact et avec un signe constant. L'étape principale pour l'unicité est de démontrer avec une énergie de Liapounov que le tourbillon ne rencontre jamais le bord.
Le résultat d'existence est un travail en collaboration avec David Gérard-Varet.
