SEMINAIRE D'ANALYSE NUMERIQUE
Année universitaire 2012-2013
Jeudi 14 février 2013 :
Yohan PENEL
(CETMEF, Équipe ANGE, LJLL, Paris 6)
Équations d'Euler : une montée en ordre physiquement admissible.
Un des problèmes majeurs dans la simulation des équations d’Euler est de garantir numériquement la
positivité des variables de densité et de pression. Plus généralement, l’intégration des contraintes physiques
dans tout processus de modélisation à l’aide de systèmes d’EDPs nécessite une analyse du point de vue
numérique. Par exemple, la positivité de la densité dans les équations de Navier-Stokes a été étudiée dans
[3, 5].
Pour les équations d’Euler, deux variables sont concernées. À l’ordre 1, le problème se résume à l’étude des
propriétés du flux numérique [2]. Lorsque l’on étend le schéma à l’ordre 2 par une procédure de type MUSCL
[7], une stratégie a été établie dans [6] pour les maillages cell-centered et dans [2] pour les maillages vertexbased.
Elle consiste à déterminer une condition CFL qui garantisse la positivité des variables concernées, sous
réserve que le flux numérique satisfasse des hypothèses adéquates. La base du raisonnement est de récrire le
schéma d’ordre 2 comme une combinaison convexe de schémas d’ordre 1.
Le présent travail consiste à rendre cette condition CFL explicite, à l’optimiser et à adapter la procédure
de reconstruction afin de construire une variable supplémentaire nécessaire pour la combinaison convexe [4].
Références
[1] C. Berthon, Robustness of MUSCL schemes for 2D unstructured meshes, J. Comput. Phys., 218(2),
495–509 (2006).
[2] F. Bouchut, Nonlinear stability of finite volume methods for hyperbolic conservation laws and well-balanced
schemes for sources, Birkhauser, (2004).
[3] C. Calgaro, E. Chane-Kane, E. Creusé & T. Goudon, L1–stability of vertex-based MUSCL finite volume
schemes on unstructured grids ; simulation of incompressible flows with high density ratios, J. Comput.
Phys., 229(17), 6027–6046 (2010).
[4] C. Calgaro, E. Creusé, T. Goudon & Y. Penel, Positivity-preserving schemes for Euler equations, J.
Comput. Phys., 234, 417–438 (2013).
[5] S. Clain & V. Clauzon, L1–stability of the MUSCL methods, Numer. Math., 116(1), 31–64 (2010).
[6] B. Perthame & C.-W. Shu, On positivity preserving finite volume schemes for Euler equations, Numer.
Math., 73, 119–130 (1996).
[7] B. Van Leer, Toward the ultimate conservative difference scheme V : A second order sequel of Godunov’s
methods, J. Comput. Phys., 32, 101–136 (1979).
