SEMINAIRE D'ANALYSE NUMERIQUE
Année universitaire 2013-2014
Jeudi 20 février 2014 :
Pierre LISSY
(LJLL, Univ. Pierre et Marie Curie)
Contrôlabilité à zéro locale de l'équation de Navier-Stokes tridimensionnelle avec un contrôle scalaire.
Dans cet exposé, nous considérerons le problème de la contrôlabilité de
l'équation de Navier-Stokes sur un domaine régulier borné de \(\mathbb{R}^3\),
avec un contrôle interne distribué dans un sous-ouvert quelconque du
domaine et ayant deux composantes nulles. On agit donc directement sur
une seule des trois équations, le contrôle se faisant de manière
indirecte sur les autres équations à l'aide des termes de couplage. Nous
démontrerons la contrôlabilité locale à zéro en temps arbitrairement
petit, ce qui signifie qu'il est possible d'atteindre de manière exacte
l'état d'équilibre 0 en n'importe quel temps \(T>0\) pour peu que la donnée
initiale soit suffisamment petite. La méthode utilisée consiste à d'abord
contrôler une équation de Navier-Stokes linéarisée bien choisie avec un
contrôle d'une certaine forme et très régulier agissant sur chacune des
trois équations, puis à supprimer deux composantes du contrôle à l'aide
d'une méthode algébrique inspirée de travaux de Gromov. On revient pour
finir au cas non linéaire en appliquant un théorème d'inversion locale.
Il s'agit d'un travail en collaboration avec Jean-Michel Coron.
