SEMINAIRE D'ANALYSE NUMERIQUE
Année universitaire 2015-2016
Jeudi 4 février 2016 :
Marie BILLAUD-FRIESS (École
Centrale de Nantes)
Méthode de
réduction de modèle pour la résolution de système dynamique dépendant
de paramètres.
Dans cette présentation, nous nous intéressons à la résolution de système dynamique dépendant d'un ou plusieurs paramètres (éventuellement aléatoires). Généralement, calculer la solution complète d'un tel problème peut s'avérer très coûteux voire infaisable notamment lorsque l'on souhaite évaluer la solution pour de nombreuses valeurs des paramètres (e.g. pour estimer les moments statistiques de la solution). Les méthodes de réduction de modèles (e.g. POD, PGD, bases réduites et plus généralement les approximations de faible rang) ont été largement développées afin de proposer un problème de substitution moins coûteux à résoudre et dont la solution est une bonne approximation de la solution complète qui peut être rapidement évaluée.
Nous proposons ici une nouvelle méthode de type bases réduites par laquelle on cherche à construire une approximation de la solution du problème initial dans un espace réduit qui dépend du temps. Cette approximation réduite peut aussi être vue comme une approximation sous un format de faible rang (i.e. somme de produits de fonctions dépendent du paramètre et du temps). Nous verrons qu'une telle approche est bien adaptée pour capturer des phénomènes transitoires (e.g. solution d'un problème de convection) contrairement à une approche plus classique où l'espace réduit ne dépend pas du temps. Dans ce contexte, l'approximation réduite est obtenue par une projection de type Galerkin du problème initial sur l'espace réduit. Ainsi, nous devons résoudre un système dynamique de taille réduite dont le flux prend en compte la dépendance temporelle de la base. Afin de mesurer la précision de l'approximation réduite, nous proposons une analyse d'erreur a posteriori en utilisant les constantes de Lipschitz logarithmiques pour une majoration efficace de l'erreur d'approximation. Cette estimateur d'erreur est utilisé dans un algorithme de type glouton pour la construction adaptative de la séquence d'espaces réduits dépendant du temps.
Différents résultats numériques illustreront le comportement de la méthode considérée ainsi que l'efficacité des estimateurs d'erreurs proposés.
