SEMINAIRE D'ANALYSE NUMERIQUE
Année universitaire 2015-2016
Jeudi 26 novembre 2015 : Khaled SALEH
(ICJ - Université de Lyon 1)
Une classe de schémas préservant l'asymptotique pour les
écoulements à faible nombre de Mach
Depuis quelques années, un effort important a été consacré au
développement de schémas pour la simulation numérique des écoulements
compressibles sur mailles décalées, c'est-à-dire s'appuyant sur une
discrétisation en espace (structurée ou non) des variables scalaires au
centre des mailles et des vitesses aux faces. Du fait de ce choix, il
est difficile d'utiliser des techniques dites de "décentrement système",
basées sur des solutions de problèmes de Riemann, et ces schémas sont
stabilisés par un simple décentrement amont des termes convectifs par
rapport à la vitesse matérielle. Ces schémas présentent l'intérêt
suivant : si l'on suppose la masse volumique constante, ils dégénèrent
vers un algorithme standard (et éprouvé) pour l'incompressible. On
s'attend donc à ce qu'ils soient, par construction, adaptés à la
simulation d'écoulements à faible nombre de Mach.
Dans cet exposé, je présenterai le principe de construction de ces
schémas. Pour le modèle de Navier-Stokes compressible et isentropique,
j'expliquerai en détail la façon d'obtenir, au niveau discret, des
estimations a priori analogues à celles connues au niveau continu
(énergie cinétique discrète, potentiel élastique discret...).
Enfin, grâce à ces estimations a priori, je démontrerai que la
convergence vers le schéma pour l'incompressible est réellement obtenue
: lorsque le nombre de Mach tend vers zéro, la masse volumique tend
effectivement vers une constante, et le couple vitesse / pression
(dé-singularisée) tend vers un couple (u,p) solution du schéma obtenu en
identifiant la masse volumique à 1 dans le schéma pour le compressible.
L'analyse est présentée pour un schéma totalement implicite, mais elles
s'étend à deux autres discrétisations en temps différentes, qui ont pour
résultat de découpler les équations en faisant apparaître un problème
elliptique discret pour la pression (schémas de correction de pression).
Ce travail est le fruit d'un collaboration avec Raphaèle Herbin,
Jean-Claude Latché et Marie-Hélène Vignal.
