La conjecture de Landis, proposée dans les années 80, affirme que si une solution d'une équation elliptique dans un domaine extérieur décroît plus rapidement qu'un certain exponentielle, alors elle forcement identiquement zero.
Cette conjecture a été falsifiée dans le cas de fonctions à valeurs complexes, mais demeure ouverte dans le cas réel.
Dans cet exposé, je vais rappeler des résultats partiels obtenus récemment par Kenig et collaborateurs. Puis je vais présenter la preuve de la conjecture en dimension 1 et son application au cas radial. Dernièrement, je vais prouver la conjecture avec une restriction sur le signe de la solution ou bien de la valeur propre principale généralisée de l'opérateur.