LMC/IMAG BP 53
Université Joseph Fourier
38041 Grenoble
Dans cet exposé on montre comment il est possible de construire de façon systématique certaines estimations d'erreur utiles pour l'analyse numérique des problèmes semi-linéaires elliptiques dépendant d'un paramètre. Les méthodes d'éléments finis conformes avec intégration numérique sont principalement concernées par ce type d'analyse.
On montre que la formulation de ces problèmes s'exprime de façon
naturelle dans le cadre du théorème usuel des fonctions implicites utilisant
le pas h de discrétisation comme petit paramètre. En supposant que le
problème continu possède localement une branche de solutions - ou deux
branches se coupant en un point de bifurcation - et sous les hypothèses
habituelles de consistance et de stabilité, on démontre ainsi les
résultats suivants :
(i) existence d'une famille de branches paramétré par h
pour le problème
approché,
(ii) convergence de cette famille dans une norme ``naturelle'' du
problème lorsque
h tend vers zéro.
Une majoration générale déduite de ce théorème des fonctions implicites permet d'obtenir les estimations d'erreur a posteriori dans la norme ``naturelle'' du problème ainsi que des estimations d'erreur a priori dans d'autres normes grâce à l'emploi d'une fonction auxiliaire utilde_h introduite par Crouzeix et Rappaz en 1989.