Faculté de Mathématiques et Informatique
Université de Picardie Jules Verne
9 rue Saint-Leu, 80000 Amiens
Dans une première partie, nous considérons l'opérateur de Heisenberg, qui est l'opérateur elliptique dégénéré associé au groupe homogène des translations d'Heisenberg de R^{2n+1}. Il est possible de construire un pavage de R^{2n+1} à l'aide des translations de Heisenberg. On peut alors considérer des problèmes d'homogénéisation périodique. Le problème que nous étudions est celui de l'homogénéisation d'un milieu périodique perforé. Nous montrons que lorsque le le rayon de Folland des trous est de l'ordre de epsilon^{N over N-2} où epsilon est la période et où N= 2 n + 2 est la dimension intrinsèque, il apparaît un terme étrange d'ordre 0 dans le problème limite.
On peut généraliser cette étude de deux manières: d'une part on peut remplacer le Laplacien de Heisenberg par une forme de Dirichlet-Poincaré régulière fortement locale; d'autre part, on peut remplacer les trous par un terme d'ordre 0 dans l'EDP du type mu u où mu est une mesure de Borel positive, (infinie sur les trous) pas forcément périodique. On peut alors introduire la gamma-convergence des mesures pour la forme de Dirichlet-Poincaré considérée.
Dans le cas le plus général décrit ci-dessus, on montre que si la suite mu_epsilon gamma-converge vers mu , alors u_epsilon converge vers u dans D^{1,p}, p<2 , où u_epsilon (resp. u) est la solution du problème aux limites associée à mu^epsilon(resp. mu); on démontre ensuite l'existence d'une suite de correcteurs w_epsilon indépendants des données tels que u_epsilon- u w_epsilon tend vers 0 dans D^{1,2}. Pour cela, on doit démontrer des résultats généraux sur les formes de Dirichlet-Poincaré : théorème de Rellich, théorèmes de régularité.