IRMAR
Université de Rennes 1
Campus de Beaulieu
35042 Rennes
L'objectif de cette thèse est d'analyser des approximations de problèmes non linéaires par la méthode des élémens finis, d'un point de vue théorique et numérique.
Dans un premier temps, nous développons un cadre général présenté dans le travail de Caloz-Rappaz permettant d'étudier les approximations de Galerkin de problèmes non linéaires. En généralisant des techniques classiques utilisées pour des problèmes linéaires, basées sur les normes à poids, nous obtenons des estimations quasi-optimales en norme infinie sur un problème modèle. Nous étudions également l'erreur d'approximation pour le problème de Navier-Stokes stationnaire incompressible. Enfin, nous adaptons les techniques pour majorer l'erreur dans un problème du type réaction-diffusion.
Dans un deuxième temps, une analyse de l'erreur locale nous permet de développer une méthode d'adaptation de maillages. En construisant un maillage proche des lignes de niveau de la solution à étudier, c'est-à-dire en utilisant des quadrangles tels que la direction locale en x soit tangente aux lignes de niveau et la direction y soit normale, on obtient une majoration fine de l'erreur. Le problème de minimisation de l'estimateur d'erreur nous amène alors à équirépartir un indicateur local d'erreur. Un algorithme utilisant un tel critère d'adaptation est développé. Cette méthode itérative est intégrée à une méthode itérative de résolution de problèmes non linéaires. Cette partie théorique est complétée par un important travail numérique. Les résultats obtenus permettent de valider la méthode développée.