On peut calculer la dérivée normale ∂u/∂n sur le bord ∂Ω du domaine Ω en utilisant ...

La formule de Green :

Supposons par exemple que la fonction u soit solution du problème

Δ u = f dans Ω     u = 0 sur ∂Ω

soit, sous forme variationnelle

Trouver u ∈ H1(Ω) tel que u=0 sur ∂Ω et ∫Ω  grad u . grad v dx = ∫Ω  f v dx  ,  ∀ v ∈ H1(Ω) tel que v=0 sur ∂Ω.

Supposant u connu sur Ω et notant que u vérifie

∫_Ω  grad u . grad v dx = ∫_Ω  f v dx + ∫_∂Ω  ∂u/∂n v dx  ,  ∀ v ∈ H¹(Ω)

on peut calculer ∂u/∂n sur ∂Ω (sous réserve de régularité) comme la solution w du probleme coercif dans L²(∂Ω)

Trouver w ∈ L2(∂Ω) tel que ∫∂Ω  w v dx = ∫Ω  grad u . grad v dx - ∫Ω  f v dx  ,  ∀ v ∈ H1(Ω) .

On note

'Rigid'	la matrice correspondant à ∫Ω grad u . grad v dx ;
'F'	le second membre correspondant à ∫Ω f v dx ;
'MasseG'	la matrice de masse sur ∂Ω correspondant à ∫∂Ω u v dγ ;
'UOmega'	le vecteur des valeurs nodales de u sur Ω .

On effectue ces opérations à l'aide des instructions

*      Calcul du second membre ( Rigid * UOmega - F)
       CALL MATVEC ('Rigid',1,'UOmega',1,'RigidU',1,0)
       CALL T2TERM ('RigidU',1,'-','F',1,'SecmbU',1,0)
*      Factorisation de 'MasseG'
       CALL FALLT  ('MasseG',1,'MFact',1,0)
*      Resolution
       CALL FASV   ('MFact',1,'SecmbU',1,'dUdN',1,0)

Le terme 'dUdN' contient alors les valeurs nodales de ∂u/∂n sur ∂Ω.

La projection L²(∂Ω) :

On peut aussi utiliser une formulation faible sur L²(∂Ω)

Trouver w ∈ L2(∂Ω) tel que ∫∂Ω  w v dx = ∫∂Ω  ∂u/∂n v dx  ,  ∀ v ∈ L2(∂Ω).

Dans ce cas le second membre peut être calculé à l'aide du produit matrice x vecteur en utilisant la matrice correspondant à l'intégrale ∫_∂Ω  ∂u/∂n v dx (intégrand DNUV) et le vecteur des valeurs nodales de u :

On note

'DnUV'	la matrice correspondant à ∫∂Ω ∂u/∂n v dx ;
'MasseG'	la matrice de masse sur ∂Ω correspondant à ∫∂Ω u v dγ ;
'UOmega'	le vecteur des valeurs nodales de u sur Ω .

On effectue ces opérations à l'aide des instructions

*      Calcul du second membre ( DnUV * UOMEGA)
       CALL MATVEC ('DnUV',1,'UOmega',1,'SecmDn',1,0)
*      Factorisation de 'MasseG'
       CALL FALLT  ('MasseG',1,'MFact',1,0)
*      Resolution
       CALL FASV   ('MFact',1,'SecmDn',1,'dUdN',1,0)

Le terme 'dUdN' contient alors les valeurs nodales de ∂u/∂n sur ∂Ω.

| FAQ |